Aljabar Boolean

Aljabar Boolean

Sejarah dan definisi Aljabar Boolean

Aljabar Boolean ditemukan oleh George Boole pada tahun 1847 yang kemudian diperkenalkan kepada public pada tahun 1854, kemudian dikembangkan oleh William Jevons (1835-1882), adalah dasar dari pengoperasian elektronika.

Komputer digital modern dirancang, dipelihara, dan operasinya dianalisis dengan memakai teknik dan simbologi dari bidang matematika yang dinamakan aljabar modern atau aljabar Boolean. Pengetahuan mengenai aljabar boolean ini merupakan suatu keharusan dalam bidang komputer.

Terdapat tiga alat bantu dalam memecahkan masalah logika: simbol gerbang, tabel kebenaran dan eksperesi Boolean. Untuk merancang suatu rangkaian dengan system digital yang besar, perlu dipahami terlebih dahulu Aljabar Boole. Aljabar Boole dinamai juga Aljabar Sakelar karena penerapannya terutama pada rangkaian yang menerapkan sakelar ( dalam hal ini dipakai gerbang-gerbang).

Dalam matematika dan ilmu komputer, Aljabar Boolean adalah struktur aljabar yang "mencakup intisari" operasi logika AND, OR dan NOR dan juga teori himpunan untuk operasi union, interseksi dan komplemen.

Penamaan Aljabar Boolean sendiri berasal dari nama seorang matematikawan asal Inggris, bernama George Boole. Dialah yang pertama kali mendefinisikan istilah itu sebagai bagian dari sistem logika pada pertengahan abad ke-19.

Definisi. Misalkan B = {0, 1}. Suatu variabel x disebut sebagai variabel Boolean jika hanya memiliki nilai dari B. Fungsi dari B_n yaitu himpunan {(x₁,x₂,x₃,…, x_n)\x₁Є B₁1}disebut denganfungsi boolean derajat n. Fungsi Boolean dapat dinyatakakan dengan ekspresi yang dibentuk dari variabel dan operasi Boolean. Ekspresi Boolean dengan variabel x₁, x₂, …, x_n

Postulat Huntington

Misalkan terdapat Dua operator biner: + dan × Sebuah operator uner: ’. B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor +, ×, dan ’ 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Tupel (B, +, ×, ’) disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c Î B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:

1. Closure:

(i) a + b Î B

(ii) a × b Î B

2. Identitas:

(i) a + 0 = a

(ii) a × 1 = a

3. Komutatif:

(i) a + b = b + a

(ii) a × b = b . a

4. Distributif:

(i) a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

(ii) a + (b × c) = (a + b) × (a + c)

5. Komplemen[1]:

(i) a + a’ = 1

(ii) a × a’ = 0

Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan Elemen-elemen himpunan B, kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner, memenuhi postulat Huntington.

Download File